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Abstract:
In the present thesis, a rigorous mathematical formulation of time-dependent density-functional theory for lattice systems is derived, serving a formally exact approach towards solving time-dependent many-particle Schrödinger problems. After introducing the necessary mathematical foundations, a one-to-one mapping from external potentials onto electronic densities obtained by solving the Schrödinger equation is introduced. Its properties and the related Banach spaces of scalar potentials and electronic densities are discussed in detail. It allows to precisely formulate the Kohn-Sham Iteration scheme, mapping a given many-particle to an effective single-particle Schrödinger problem, both generating the exact same density. Employing the Banach fixed point theorem, the Kohn-Sham Iteration scheme is proven to be convergent depending on the chosen initial density.
Abstract:
In der hier vorliegenden Arbeit wird ein mathematisches Framework zeitabhängiger Dichte-Funktional-Theorie für quantenmechanische Gitter-Systeme entwickelt. Dies erlaubt einen formal exakten Ansatz für die Lösung der zugehörigen Vielteilchen-Schrödinger-gleichung. Beginnend mit der Diskussion relevanter mathematischer Konzepte, wird eine eins-zu-eins Abbildung zwischen externen Potentialen und zugehörigen, sich aus der Lösung der Schrödingergleichung ergebenden elektronischen Dichten definiert. Selbige, und die zugehörig betrachteten Banachräume externer Potentiale und elektronischer Dichten werden im Hinblick auf die Einführung des sog. Kohn-Sham Iterationsschemas näher untersucht. Das Schema ermöglicht, im Falle von Konvergenz, ein gegebenes interagierendes Vielteilchen-Schrödingerproblem eindeutig auf ein, die selbe Dichte generierendes effektives Einteilchen-Schrödingerproblem zurückzuführen. Unter Verwendung des Banach Fixpunkt Satzes zeigt sich, dass das Kohn-Sham Iterationsschema, abhängig von der gewählten Anfangsdichte, konvergiert.
