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  Density Matrix Embedding Theory: Foundations, Applications and Connection to Functional Theories

Reinhard, T. (2019). Density Matrix Embedding Theory: Foundations, Applications and Connection to Functional Theories. PhD Thesis, Universität Hamburg, Hamburg.

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Basisdaten

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Genre: Hochschulschrift

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:
dissertation_Reinhard.pdf (Verlagsversion), 2MB
Name:
dissertation_Reinhard.pdf
Beschreibung:
-
OA-Status:
Sichtbarkeit:
Öffentlich
MIME-Typ / Prüfsumme:
application/pdf / [MD5]
Technische Metadaten:
Copyright Datum:
2019
Copyright Info:
T. Reinhard
Lizenz:
-

Externe Referenzen

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externe Referenz:
http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2019/9670/ (Verlagsversion)
Beschreibung:
-
OA-Status:

Urheber

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 Urheber:
Reinhard, T.1, Autor           
Affiliations:
1Theory Group, Theory Department, Max Planck Institute for the Structure and Dynamics of Matter, Max Planck Society, ou_2266715              

Inhalt

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Schlagwörter: -
 Zusammenfassung: The Schrödinger equation describes the motion of the microscopic particles that constitute our world
such as the electrons or atomic nuclei. Albeit being applicable to the smallest particle that we
know of, it has observable consequences in the macroscopic world. It determines the conductivity
of metals, it tells us which materials are magnetic and whether they show exotic behaviour such as
super-conductivity.
Unfortunately, solving the Schrödinger equation directly for any piece of material that is visible for
the human eye is practically impossible. Already a grain of sand contains 1023 (that is written out
10.000.000.000.000.000.000.000) electrons and atomic nuclei. This means that only specifying the
initial positions of the particles requires to safe an incredible amount of data; a procedure which is
unfeasible for any human or computer.
Due to the fundamental problem of applying quantum mechanics to practically relevant scenarios, a
number of eective and approximate methods have been developed. In essence, they all try to reduce
the dimension of the problem, i.e., the curse of the enormous amount of data required to simulate the
Schrödinger equation.
In this thesis, we try to analyze and expand one of those method called Density Matrix Embedding
Theory (DMET). In a lot of physical system, especially when considering solid states, we can already
learn a lot about its physics when describing its properties on a small fragment of the whole system. In
a system with interacting particles though, we cannot simply consider just a subsystem and describe
its properties without taking into account its interactions with the rest of the system.
The basic idea of DMET is to divide the considered system into two parts called impurity and envi-
ronment. The impurity is chosen to be so small that its wave function can be computed exactly. In
the environment, only those degrees of freedom directly interacting with the impurity are considered
and are included in our description. The physics on the environment itself is neglected.
In the following, we will explain in detail how this can be done specically. In part I of this thesis,
we will set the stage for the considered systems and present well-known and established methods to
solve them. In the next part II, we will present DMET in great mathematical detail, which allows
us to illustrate the advantages of DMET, but also some problems and drawbacks. We proceed by
expanding DMET to the treatment of coupled electron-phonon system in part III and applying this
new method to the Hubbard-Holstein model. Part of this work has been published in [53]. Finally,
in part IV, we discuss some problems of DMET and, by combining DMET with functional theories,
solve these problems. These insights, together with the extensive discussion of the DMET algorithm,
will be published soon [59]. We illustrate this new method with an example system. This work will
be published in paper [44] soon. We conclude this thesis by a summary and outlook (part V).
 Zusammenfassung: Die Schrödingergleichung beschreibt die Bewegungen aller mikroskopischen Teilchen, wie zum Beispiel
Elektronen, Atomkerne oder Licht-teilchen, die Photonen genannt werden und aus denen unsere Welt
zusammengesetzt ist. Diese Teilchen sind zwar winzig klein, aber trotzdem beeinussen sie Materialen
auf eine Art, die wir in unserer makroskopischen Welt beobachten können. Mithilfe der Schrödinger-
gleichung kann man zum Beispiel feststellen, ob ein Material magnetisch ist oder sogar exotische
Eigenschaften, wie Supraleitfähigkeit besitzt.
Leider ist es aber trotzdem praktisch nicht möglich, Materialien die für uns sichtbar sind mit der ex-
akten Schrödingergleichung zu beschreiben: Schon ein Sandkorn enthält 1023 (das sind ausgeschrieben
10.000.000.000.000.000.000.000) Elektronen und Atomkerne. Deshalb ist es nicht möglich, auch nur
die Orte der einzelnen Teilchen auf einem Computer abzuspeichern, geschweige denn ihre Bewegungen
und Wechselwirkungen zu berechnen.
Weil es aber für bestimmte Fragestellung (also zum Beispiel für die Frage: Ist dieses Material mag-
netisch?) notwendig ist, auch den Einuss der mikroskopischen Teilchen zu berücksichtigen, beschäftigt
sich ein groÿer Teil der Vielteilchenquantenmechanik damit, entweder die Schrödingergleichung ap-
proximativ und ezient zu lösen, oder die Elementalteilchen auf einem Umweg genau beschreiben zu
können.
In dieser Doktorarbeit beschäftigen wir uns mit einer bestimmten Methode, um die Schrödingergle-
ichung zu nähern und eektiv zu lösen. Die Methode, die hier genau unter die Lupe genommen wird,
heiÿt Density Matrix Embedding Theory, abgekürzt DMET. Diese Methode nutzt aus, dass für viele
Systeme, vor allem für Festkörper, oft ausreicht, wenn ein Teil des gesamten Systems genau beschrieben
werden kann ohne die Physik des restlichen Systems kennen zu müssen. Auch um nur ein Subsystem
zu beschreiben, muss man aber die Wechselwirkungen mit dem Rest des Systems berücksichtigen.
Die Grundidee von DMET ist dementsprechend, das System, welches bestimmt werden soll, in zwei
Teile zu teilen: Ein Teil ist die impurity, also das Subsystem, welches genauer beschrieben werden
soll, und der zweite Teil ist das environment, also der restliche Teil des Systems. Die impurity wird so
klein gewählt, dass es möglich ist, für dieses Subsystem die Schrödingergleichung exakt zu lösen. Von
dem environment werden nur die Anteile berücksichtigt, die direkt mit der impurity wechselwirken
und der Rest wird vernachlässigt. Die Hauptaufgabe von DMET ist also, herauszunden, welche Teile
des environments eigentlich mit der impurity wechselwirken und welche anderen Teile vernachlässigt
werden können.
In dieser Arbeit werden wir detailliert erklären, wie DMET genau funktioniert. Auÿerdem werden wir
die Methode, die eigentlich für rein elektronische Systeme entwickelt wurde, erweitern, sodass auch
gekoppelte Elektron-Phonon Systeme damit behandelt werden können.

Details

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Sprache(n): eng - English
 Datum: 20192019
 Publikationsstatus: Erschienen
 Seiten: 133
 Ort, Verlag, Ausgabe: Hamburg : Universität Hamburg
 Inhaltsverzeichnis: -
 Art der Begutachtung: -
 Identifikatoren: URN: urn:nbn:de:gbv:18-96709
 Art des Abschluß: Doktorarbeit

Veranstaltung

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Entscheidung

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Projektinformation

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Quelle

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