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Abstract:
[For the entire collection see Zbl 0723.00017.] \\par Dieser Vortrag wurde vom Verf. anläßlich der Verleihung des Carus- Preises am 27.1.84 in Schweinfurt gehalten. Nach Aussage des Verf. hat er viele Anregungen zu diesem Vortrag dem Büchlein von \\it I. G. Bashmakova [Diophant und diophantische Gleichungen (Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974; Zbl 0292.01001) auch UTB 360, Birkhäuser, Basel] entnommen. \\par Der Artikel gliedert sich (grob gesagt) in drei Teile: Kurven vom Geschlecht null (Phythagoras), vom Geschlecht eins (elliptische Kurven) und von höherem Geschlecht (Fermat, Faltings). Bei elliptischen Kurven steht die Gruppenstruktur im Vordergrund. Ein Hinweis auf die Birch- Swinnerton-Dyer-Vermutung wird gegeben, und in der Korrektur taucht Kolyvagins Ergebnis (1988) auf. \\par Naturgemäß fehlt die eigentliche Abrundung, daß, wenn ``eine noch umfassendere Klasse von elliptischen Kurven'' ``sogar alle elliptischen Kurven enthält'', nach Frey-Serre-Ribet (1990) der letzte Satz von Fermat bewiesen ist. S. a. Verf., Elliptische Kurven: Fortschritte und Anwendungen [Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 92, No.2, 58- 76 (1990; Zbl 0708.14019)].
