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Abstract:
Die Dirac-Gleichung [Dir28] liefert eine Lorentz-invariante, d.h. relativistisch
korrekte quantenmechanische Beschreibung eines einzelnen Teilchens in Gegenwart
von beliebigen zeit- und ortsabhängigen, klassischen (d.h. nichtquantisierten)
elektromagnetischen Feldern. Ihre Lösung stellt traditionell ein ebenso
großes Problem wie auch eine Herausforderung dar [Kei01, MG02], besonders
für zeitabhängige Problemstellungen. Analytische Lösungen sind nur für einige
wenige einfache Fälle wie das Wassersto atom [Gor28, Dar28] oder freie Teilchen
im Feld einer elektromagnetischen ebenen Welle [Wol35] bekannt, um nur
je ein Beispiel für gebundene und freie Dynamik zu nennen.
Gerade die Kombination dieser beiden Teilgebiete, also die Wechselwirkung
von Licht und Materie, steht im Mittelpunkt des Interesses vieler Arbeitsgruppen
weltweit. Aufgrund seiner überragenden Eigenschaften hinsichtlich Kohärenz
und Monochromasie kommt seit langer Zeit fast ausschließlich Laserlicht
zum Einsatz. Von entscheidender Bedeutung ist aber auch die Intensität des
verwendeten Lichtes. Einen Meilenstein in der Geschichte der Laserentwicklung
stellt diesbezüglich die Erfindung der sogenannten „Chirped Pulse Amplification“
(CPA) [SM85, MSB+88, PM94] dar, bei der ein kurzer, intensiver Laserpuls
zunächst mithilfe eines dispersiven Elements, meist ein Paar von Beugungsgittern,
zeitlich gestreckt und damit in seiner Spitzenintensität deutlich herabgesetzt
wird. Auf dieseWeise läßt sich eine Zerstörung der optischen Komponenten
vermeiden. Der gestreckte Puls wird dann verstärkt und erst ganz zum Schluß
auf die ursprüngliche Länge rekomprimiert. Als Ergebnis erhält man einen kurzen,
extrem intensiven Laserpuls. Fast 1021 W/cm2 wurden auf diese Weise bei
einer Wellenlänge von 1054 nm bereits erzielt [PM94, PPS+99].
Ebenfalls von großer Bedeutung ist die Länge der eingesetzten Laserpulse.
Ganz allgemein läßt sich sagen, daß kürzere Pulse zeitaufgelöste Untersuchungen
schnellerer physikalischer Prozesse erlauben und somit erstrebenswert sind.
Es ist jedoch auch für Experimente mit hohen Intensitäten wichtig, daß die
Spitzenintensitäten möglichst schnell erreicht werden, damit die eigentlich untersuchten
E ekte nicht durch andere überdeckt oder verhindert werden, die
sich während der niedrigeren Intensität der Einschaltphase abspielen. Auch hier
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KAPITEL 1: Einleitung
1.1 Motivation
sind kurze Pulse also von Vorteil. Im Bereich niedriger Intensitäten hat die Entwicklung
entsprechender Lasersysteme mittlerweile den Attosekundenbereich erreicht
[BK00, Cor00]. Hierzu wird das obere Ende des von einem Femtosekundenlaserpuls
initiierten atomaren Harmonischenspektrums durch einen Bandpaß
selektiert und dadurch in eine Reihe von Attosekunden-XUV-Pulsen verwandelt.
Auch die bei kurzen Pulsen immer wichtiger werdende absolute Phasenlage läßt
sich mittlerweile bereits ansatzweise messen und kontrollieren [PGW+01].
Mindestens ebenso wichtig wie die Pulslänge ist die Frequenz des Laserlichts.
Besonders hochfrequente Laserstrahlung, die Wellenlängen bis in den Subnanometerbereich
hinein entspricht, kann man mithilfe eines „Free Electron Laser“
(FEL) erzielen, wie er gerade beispielsweise am DESY1 in Hamburg im Rahmen
des TESLA2-Projektes [MT01, TES02] erprobt wird. Hierbei wird ein von einem
Linearbeschleuniger bereitgestelltes und mit einer periodischen Mikrostrukturierung
versehenes hochenergetisches Elektronenpaket durch die räumlich variierenden
Magnetfelder eines sogenannten Undulators zur Emission intensiver
kohärenter Strahlung gebracht. Beim sogenannten SASE3-FEL wird die erforderliche
Dichtemodulation der Elektronen durch die generierte Strahlung selbst
erzeugt.
Die Erfindung des Lasers und seine kontinuierliche Weiterentwicklung in
Richtung immer höherer Intensitäten, kürzerer Pulse und höherer Frequenzen
haben zur Entdeckung vielfältiger neuer Phänomene [PKK97, JDK00, Kei01]
geführt. Bei der Multiphotonionisation (MPI) [GT68] werden Atome mithilfe
mehrerer Photonen ionisiert, deren einzelne Energien eigentlich nicht ausreichen
würden, um gebundene Elektronen ins Kontinuum zu befördern. Von „Above-
Threshold Ionization“ (Ionisation oberhalb der Schwelle, ATI) [AFM+79] spricht
man, wenn das gebundene Elektron ins Kontinuum gelangt, dabei aber mehr
Energie in Form von zusätzlichen Photonen aufnimmt, als zur Ionisation eigentlich
nötig ist. Bei extrem starken Feldern und gleichzeitig niedrigen Frequenzen
gelangt man in den sogenannten Tunnelbereich. In diesem Bereich ist insbesondere
die „High Harmonic Generation“ (Erzeugung Hoher Harmonischer, HHG)
anzusiedeln [MGJ+87, FLL+88, PSZ+96, BMM+92, LBI+94]. Den Prozeß kann
man sich derart vorstellen, daß das atomare Potential im Augenblick des Maximums
des äußeren elektrischen Feldes durch eben dieses so stark gekippt wird,
daß sich eine Tunnelbarriere für das gebundene Elektron ausbilden kann. Mit
einer gewissen Wahrscheinlichkeit tunnelt dieses aus dem Atom hinaus, wird
vom Kern wegbeschleunigt, abgebremst und wieder zurückbeschleunigt. Bei der
Rekollision fällt es in seinen gebundenen Ausgangszustand zurück und gibt seine
zwischenzeitlich angesammelte Energie in Form hochfrequenter Strahlung
wieder ab. Sind die Parameter so, daß die oben angesprochene Tunnelbarriere
unterhalb des betrachteten gebundenen Zustands liegt, so kann dieser ungehindert
entweichen und man spricht von „Over-the-Barrier Ionization“ (OTBI)
[PKK97, JDK00]. Ein letzter, vielbeachteter E ekt wird als „Stabilisierung“
[SEJ90, PG90, GK02, Gav02] bezeichnet. Gemeint ist damit, daß unter gewis-
1DESY: Deutsches Elektronen-Synchrotron.
2TESLA: TeV Energy Superconducting Linear Accelerator.
3SASE: Self Amplified Spontaneous Emission.
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KAPITEL 1: Einleitung
1.1 Motivation
sen Voraussetzungen die Ionisationsrate über einen bestimmten Bereich hinweg
nicht mit der Laserintensität ansteigt, sondern sinkt.
Wie man sieht, gibt es im Bereich derWechselwirkung von Licht und Materie
eine Fülle von interessanten Phänomenen. Für ihr Auftreten sind insbesondere
die mittlerweile verfügbaren extrem hohen Laserintensitäten verantwortlich. Je
nach gewählter Ladungszahl und Laserintensität kann die Feldstärke aufgrund
des Lichtes diejenige aufgrund der Kernladung (z.B. gemittelte 1.0×1010 V/cm
für den Wassersto grundzustand) kompensieren (z.B. 2.7×1010 V/cm bei einer
Intensität von 1018 W/cm2) oder gar deutlich (8.7×1011 V/cm bei 1021 W/cm2)
übertre en.4 Für die theoretische Behandlung von Phänomenen wie MPI, ATI,
HHG und OTBI bedeutet dies mit immer weiter zunehmender Laserintensität
den allmählichen Abschied sowohl von störungstheoretischen Ansätzen, die das
von außen eingestrahlte Licht als kleine Störung im Vergleich zur Bindungsenergie
der Elektronen in Atomen und Ionen behandeln, als auch von der sogenannten
Dipolnäherung, die die magnetische Komponente des Lichtes vernachlässigt.
Hochgeladene Ionen, wie sie beispielsweise am CERN5 in Genf [KVD+98] oder
bei der GSI6 in Darmstadt [BBH+02] immer besser produziert werden können,
verlangen ebenso wie die immer weiter steigenden Laserintensitäten nach einer
relativistischen Behandlung. Während sich die üblicherweise als „Drift“ bezeichnete
Vorwärtsbewegung der Elektronen in einem Laserstrahl, dessen Magnetfeldkomponente
wirksam wird, und bis zu einem gewissen Grad sogar Spine ekte
noch gut klassisch beschreiben lassen, verlangt die detaillierte Betrachtung
der Wellenpaketdynamik und die Wechselwirkung mit einem Ionkern nach einer
quantenmechanischen Behandlung, also letztendlich nach der numerischen
Lösung der Dirac-Gleichung.
In der Atomphysik wurde die sogenannte Split-Operator-Methode [FMF76,
Hea91] erfolgreich bei zahlreichen Schrödinger-Rechnungen eingesetzt [LJD94,
dAR00, PK02, SK03, SPK03, FSK04], aber die meisten hiervon waren, mit
wenigen Ausnahmen [PKK96, HK99, HK01b], nichtrelativistische Arbeiten. Die
Split-Operator-Methode kann ebenso eingesetzt werden, um die Dirac-Gleichung
zu lösen. Numerisch gesehen stellen hierbei die benötigten Gittergrößen und
die Zahl der realisierbaren Raumdimensionen, zusammen mit der hohen erforderlichen
Zeitauflösung, die Hauptprobleme dar. Wegen der hohen Anforderungen
an die Rechnerleistung wurden nur einige wenige Versuche zur numerischen
Lösung der Dirac-Gleichung unternommen. Zumeist jedoch sind dies
zwar in Raum und Zeit hochauflösende, aber nur eindimensionale Rechnungen
[KEJ97, BSG99, CK02], oder es handelt sich um zwei- und dreidimensionale
Arbeiten, die entweder mit einer relativ niedrigen Zeitauflösung arbeiten
[RKPK97, RSK99] oder nur kurze Zeiträume abdecken [MBS95, SSG97].
Die oft benutzten Finite-Elemente-Methoden [BS85] haben zudem mit großen
Problemen bei der Vermeidung des sogenannten „fermion-doubling“ zu kämpfen
[Sus77, MGS98]. Einige analytische Arbeiten [RPR01, RRR00] sind dem
4Bei sehr hochgeladenen Ionen sind die Feldstärken (z.B. gemittelte 8.0 × 1015 V/cm für
den Grundzustand von wassersto artigem Uran nach einer nicht-relativistischen Rechnung)
jedoch nach wie vor unerreichbar.
5CERN: Centre Européan de Recherches Nucléaires.
6GSI: Gesellschaft für Schwerionenforschung.
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KAPITEL 1: Einleitung
1.1 Motivation
Problem freier Dirac-Teilchen unter dem Einfluß eines Laserfeldes gewidmet,
mit anderen Worten Wellenpaketen, die aus relativistischen Wolkow-Zuständen
gebildet sind. Mehrere Autoren haben mithilfe der S-Matrix-Theorie in der
ersten Bornschen Näherung Querschnitte für die laserassistierte Streuung an
Coulomb- [SVT+97], Yukawa- [SM98] und abgeschirmten Coulomb-Potentialen
[PKE02] ermittelt oder etwa die relativistische „strong-field“-Photoionisation
[Rei90] berechnet. Im allgemeinen wurde wenig Betonung auf die zeitaufgelöste
relativistische Wellenpaketdynamik der jeweils betrachteten Prozesse
bei kurzen Abständen gelegt, wenn man sie über längere Zeit und bei hoher
Zeitauflösung beobachtet, insbesondere in allen Ordnungen der Wechselwirkung
mit dem Kern. Die gerne benutzten sogenannten Coulomb-Wolkow-Funktionen
[JT78, LBCZ04] stellen keine echten Lösungen des Problems dar, sondern sind
eine Interpolation zwischen den beiden analytisch lösbaren Extremfällen ohne
Laser bzw. ohne Kern. Spätestens beim Auftreten mehrerer Kerne kann man
sie nicht mehr benutzen. Außerdem stellen sie alleine noch keine Wellenpakete
dar, sondern haben, wie die Wolkow-Wellen selbst, den Charakter von Distributionslösungen.
Es wurden verschiedentlich Entwicklungen der Dirac-Gleichung benutzt, um
auch mit eigentlich nichtrelativistischen Schrödinger-Codes in den relativistischen
Bereich vorzustoßen, unter Vermeidung des immensen Rechenaufwands
echter Dirac-Codes. Da es, abgesehen von der Frage nach der notwendigen Ordnung
solcher Reihenentwicklungen [FW50] sogar, unbesehen der damit in speziellen
Fällen erzielbaren Erfolge, grundsätzliche Zweifel an ihrer Konvergenz
im allgemeinen Fall gibt [BH84], erscheint es angebracht, einmal die näherungsfreie
Dirac-Theorie selbst numerisch in Angri zu nehmen. Formal gesehen ist
letztere sogar einfacher als die um den Spin und relativistische Korrekturterme
erweiterte Schrödinger-Gleichung, insbesondere ist der Hamiltonian nur linear
im Impuls und nicht quadratisch, was deutliche Vereinfachungen mit sich bringt.
Daß die Rechenzeiten trotzdem mindestens zwei Größenordnungen über denen
von einfachen Schrödinger-Rechnungen liegen, begründet sich im unvermeidlichen
Auftreten der Ruheenergie mc2 und der dementsprechenden Notwendigkeit
einer viel höheren zeitlichen Auflösung.
Die Entwicklung schneller Multiprozessor-Computersysteme auf Seiten der
Hardware und die Erfindung der schnellen Fourier-Transformation und ihre ef-
fiziente Implementierung [FJ98] auf Seiten der Software sind so ermutigend,
daß es sich lohnt, das Dirac-Problem näher zu betrachten. Dreidimensionale
Rechnungen stellen sich immer noch als unerreichbar heraus, abgesehen von
Rechnungen mit äußerst kleinen Gittern oder Simulationen von extrem kurzen
Zeitintervallen. Da ein Großteil der physikalisch interessanten Phänomene
sich auf einer etwas größeren Skala abspielt und zudem alle quantenmechanischen
E ekte wie Tunneln, der Einfluß des Spins und zu Interferenzen führende
Superpositionen auch in zwei Dimensionen auftreten, habe ich eine zweidimensionale
Implementierung von Standardalgorithmen gescha en und eine Reihe
von Verbesserungen hinzugefügt, die ihre E zienz bemerkenswert erhöhen. Es
ist mir gelungen, auf analytischem Wege bestimmte Teiloperationen des Dirac-
Split-Operator-Verfahrens vorab zu vereinfachen und dadurch deutlich zu beschleunigen.
Darüber hinaus konnte ich die üblicherweise statischen numerischen
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KAPITEL 1: Einleitung
1.1 Motivation
Gitter durch dynamische, sich automatisch im Laufe der Simulation in Größe
und Position anpassende Gitter ersetzen.
Der so gescha ene, hochoptimierte numerische Dirac-Code ermöglicht es,
die Streuung eines einzelnen relativistischen, lasergetriebenen Elektrons an einem
oder mehreren hochgeladenen Ionen eingehend zu analysieren. Dazu führe
ich zweidimensionale Rechnungen durch, die sich über Zeiträume länger als
10 a.u. bei einer hohen Zeitauflösung von 2 × 10−5 a.u. erstrecken, und dies
bei räumlichen Auflösungen, die hoch genug sind, um jegliche vorkommenden
Impulse einwandfrei darzustellen. Während von Einteilchensystemen bekannt
ist, daß Quantene ekte selbst im relativistischen Regime äußerst wichtig sind
[RKPK97, PKE02], sind im Bereich der Vielteilchensysteme hingegen klassische
Betrachtungsweisen weitgehend etabliert, und es wurde gezeigt, daß die laserinduzierte
Plasmaphysik sich bemerkenswert gut durch die klassische relativistische
Dynamik beschreiben läßt [GF96, PSP+98, LSM+00, SZW+00, SGD+01,
HM01, HK01a, SMS+02, ZCB+03]. Das zwischen diesen beiden liegende Regime
der Wenigteilchensysteme bis hin zur Clusterphysik gewinnt immer mehr
an Interesse [HX97, DZY+99, GBC+02, DWW+02, SMF+03]. Es stellt sich daher
die Frage nach der Rolle von Quantene ekten in laserinduzierter Mehrzentrenstreuung
von relativistischen Elektronen und ihrer Abhängigkeit von den
Laserparametern. Genau dies untersuche ich und analysiere insbesondere die
Entstehung charakteristischer Interferenzmuster und ihre Parameterabhängigkeit
sowohl numerisch als auch analytisch [MK03, MK04b].
Um auch die, wie eingangs beschrieben, hochinteressanten gebundenen Systeme
in starken Feldern untersuchen zu können, habe ich meinen Code auf
eine Weise modifiziert, die es erlaubt, nicht nur Wellenfunktionen in der Zeit
vorwärts zu propagieren, sondern auch stationäre Zustände zu konstruieren.
Diese wiederum können als Ausgangspunkt für zeitabhängige Probleme benutzt
werden, wie z.B. die Erzeugung Hoher Harmonischer (HHG) oder die „Above-
Threshold Ionization“ (ATI). Im Rahmen dieser Arbeit muß ich mich im
niedrigen Frequenzbereich aufgrund zu großer Laufzeiten für die beiden vorgenannten
Szenarien in einem kurzen Beispiel auf die Simulation eines einfachen
Ionisationsprozesses, der durch einen sehr starken Laserpuls ausgelöst wird, die
sogenannte „Over-the-Barrier Ionization“ (OTBI) [MK04b], beschränken.
Darüber hinaus ist es jedoch möglich, im Bereich extrem hoher Dopplerverschobener
Frequenzen und Intensitäten die Möglichkeiten zur lasergetriebenen
Initiierung hochenergetischer Prozesse durch Kollisionen des gebundenen
Elektrons mit seinem Ionkern ausgiebig zu untersuchen. Es zeigt sich eine unerwartete
Wellenpaketdynamik, die die gewünschten Elektron-Kern-Kollisionen
mit kinetischen Energien im MeV-Bereich jedoch durchaus begünstigt [MK04a].
Parallel zu dem bereits genannten Dirac-Code habe ich ein Verfahren entwickelt,
das es gestattet, aus den zuvor berechneten zeitabhängigen Wellenfunktionen
das zugehörige Strahlungsspektrum unter einem beliebigen Beobachtungswinkel
zu gewinnen. Obwohl dieses Verfahren natürlich für die Untersuchung
Hoher Harmonischer und der Spektren von mehrfach periodisch gestreuten
Elektronen prädestiniert ist, kann es zum derzeitigen Zeitpunkt hierfür noch
nicht eingesetzt werden, da die Berechnung der zugrundeliegenden zeitabhängigen
Wellenfunktionen bei gerade diesen beiden Szenarien noch Zukunftsmusik
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KAPITEL 1: Einleitung
1.2 Physikalisch-theoretische Einordnung
darstellt. Daher muß eine Betrachtung an einem lasergetriebenen freien Elektron
genügen. An diesem einfachen System habe ich insbesondere die Vorzüge
des Verfahrens gegenüber den bisher üblichen Methoden [BRCK92] im Rahmen
einer Vergleichsstudie herausgearbeitet [MK04c].
Trotz der großen Erfolge der Quantenmechanik haben auch rein klassische
Systeme nach wievor einen gewissen Stellenwert. Die klassische Betrachtung liefert
nicht nur gut geeignete und vor allem schnell berechnete Plausibilitätstests
für Vergleiche mit quantenmechanischen Lösungen, sondern sie stellt auch für
sich selbst eine in vielen interessanten Fällen völlig ausreichende oder zumindest
sehr weitreichende Beschreibung dar [SS70, SF96, KK95, KSKM98, GK02]. Die
insbesondere numerischen Integrationstechniken [P+92b] der klassischen Einteilchen-
Bewegungsgleichungen sind zwar schon lange ausgereift, jedoch finden sich
noch immer einfache interessante Systeme, die auch mit den etablierten Techniken
noch nicht untersucht wurden. Insbesondere auf dem Gebiet der Teilchenbeschleunigung
mithilfe von Lasern immer höherer Intensität ist in den letzten
Jahren das Interesse erwacht.7 Ein kleinerer Teil dieser Arbeit ist daher solchen
Projekten gewidmet [MSHK02].
