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Density Matrix Embedding Theory: Foundations, Applications and Connection to Functional Theories


Reinhard,  T.
International Max Planck Research School for Ultrafast Imaging & Structural Dynamics (IMPRS-UFAST), Max Planck Institute for the Structure and Dynamics of Matter, Max Planck Society;

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Reinhard, T. (2019). Density Matrix Embedding Theory: Foundations, Applications and Connection to Functional Theories. PhD Thesis, Universität Hamburg, Hamburg.

Cite as: http://hdl.handle.net/21.11116/0000-0002-B7F0-0
The Schrödinger equation describes the motion of the microscopic particles that constitute our world such as the electrons or atomic nuclei. Albeit being applicable to the smallest particle that we know of, it has observable consequences in the macroscopic world. It determines the conductivity of metals, it tells us which materials are magnetic and whether they show exotic behaviour such as super-conductivity. Unfortunately, solving the Schrödinger equation directly for any piece of material that is visible for the human eye is practically impossible. Already a grain of sand contains 1023 (that is written out electrons and atomic nuclei. This means that only specifying the initial positions of the particles requires to safe an incredible amount of data; a procedure which is unfeasible for any human or computer. Due to the fundamental problem of applying quantum mechanics to practically relevant scenarios, a number of eective and approximate methods have been developed. In essence, they all try to reduce the dimension of the problem, i.e., the curse of the enormous amount of data required to simulate the Schrödinger equation. In this thesis, we try to analyze and expand one of those method called Density Matrix Embedding Theory (DMET). In a lot of physical system, especially when considering solid states, we can already learn a lot about its physics when describing its properties on a small fragment of the whole system. In a system with interacting particles though, we cannot simply consider just a subsystem and describe its properties without taking into account its interactions with the rest of the system. The basic idea of DMET is to divide the considered system into two parts called impurity and envi- ronment. The impurity is chosen to be so small that its wave function can be computed exactly. In the environment, only those degrees of freedom directly interacting with the impurity are considered and are included in our description. The physics on the environment itself is neglected. In the following, we will explain in detail how this can be done specically. In part I of this thesis, we will set the stage for the considered systems and present well-known and established methods to solve them. In the next part II, we will present DMET in great mathematical detail, which allows us to illustrate the advantages of DMET, but also some problems and drawbacks. We proceed by expanding DMET to the treatment of coupled electron-phonon system in part III and applying this new method to the Hubbard-Holstein model. Part of this work has been published in [53]. Finally, in part IV, we discuss some problems of DMET and, by combining DMET with functional theories, solve these problems. These insights, together with the extensive discussion of the DMET algorithm, will be published soon [59]. We illustrate this new method with an example system. This work will be published in paper [44] soon. We conclude this thesis by a summary and outlook (part V).
Die Schrödingergleichung beschreibt die Bewegungen aller mikroskopischen Teilchen, wie zum Beispiel Elektronen, Atomkerne oder Licht-teilchen, die Photonen genannt werden und aus denen unsere Welt zusammengesetzt ist. Diese Teilchen sind zwar winzig klein, aber trotzdem beeinussen sie Materialen auf eine Art, die wir in unserer makroskopischen Welt beobachten können. Mithilfe der Schrödinger- gleichung kann man zum Beispiel feststellen, ob ein Material magnetisch ist oder sogar exotische Eigenschaften, wie Supraleitfähigkeit besitzt. Leider ist es aber trotzdem praktisch nicht möglich, Materialien die für uns sichtbar sind mit der ex- akten Schrödingergleichung zu beschreiben: Schon ein Sandkorn enthält 1023 (das sind ausgeschrieben Elektronen und Atomkerne. Deshalb ist es nicht möglich, auch nur die Orte der einzelnen Teilchen auf einem Computer abzuspeichern, geschweige denn ihre Bewegungen und Wechselwirkungen zu berechnen. Weil es aber für bestimmte Fragestellung (also zum Beispiel für die Frage: Ist dieses Material mag- netisch?) notwendig ist, auch den Einuss der mikroskopischen Teilchen zu berücksichtigen, beschäftigt sich ein groÿer Teil der Vielteilchenquantenmechanik damit, entweder die Schrödingergleichung ap- proximativ und ezient zu lösen, oder die Elementalteilchen auf einem Umweg genau beschreiben zu können. In dieser Doktorarbeit beschäftigen wir uns mit einer bestimmten Methode, um die Schrödingergle- ichung zu nähern und eektiv zu lösen. Die Methode, die hier genau unter die Lupe genommen wird, heiÿt Density Matrix Embedding Theory, abgekürzt DMET. Diese Methode nutzt aus, dass für viele Systeme, vor allem für Festkörper, oft ausreicht, wenn ein Teil des gesamten Systems genau beschrieben werden kann ohne die Physik des restlichen Systems kennen zu müssen. Auch um nur ein Subsystem zu beschreiben, muss man aber die Wechselwirkungen mit dem Rest des Systems berücksichtigen. Die Grundidee von DMET ist dementsprechend, das System, welches bestimmt werden soll, in zwei Teile zu teilen: Ein Teil ist die impurity, also das Subsystem, welches genauer beschrieben werden soll, und der zweite Teil ist das environment, also der restliche Teil des Systems. Die impurity wird so klein gewählt, dass es möglich ist, für dieses Subsystem die Schrödingergleichung exakt zu lösen. Von dem environment werden nur die Anteile berücksichtigt, die direkt mit der impurity wechselwirken und der Rest wird vernachlässigt. Die Hauptaufgabe von DMET ist also, herauszunden, welche Teile des environments eigentlich mit der impurity wechselwirken und welche anderen Teile vernachlässigt werden können. In dieser Arbeit werden wir detailliert erklären, wie DMET genau funktioniert. Auÿerdem werden wir die Methode, die eigentlich für rein elektronische Systeme entwickelt wurde, erweitern, sodass auch gekoppelte Elektron-Phonon Systeme damit behandelt werden können.