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Abstract

In this investigation an ample variety of mathematical tools has been applied to analyze the dynamics of several chemical reaction systems. The first part (chapters two, three and four) describes the applicability and the use of algebraic geometry in the solution of chemical reaction systems, which are usually represented by highly nonlinear ordinary differential equations. A possibility is shown to restrict the set of stationary solutions to a curve by intersecting a convex cone and a toric variety. This intersection is crucial to find an injective mapping between the stationary concentrations and the stationary reaction rates. As an example the analytic solutions of several models for the electrocatalytic oxidation of formic acid are derived (chapter four). This allows to execute an exact stability analysis and to determine the occurring bifurcation and the parameters pace where they are to be expected. As a result it is possible to decide in general which models may exhibit bistability and which requirements must be fulfilled. In the second part (chapters five, six, seven) unstable networks are classified according to their types of instability and a description of possible extensions of these networks to bistable oscillatory systems is given. To determine the bifurcation behavior the algebraic considerations are supported by numerical investigations. This allows to draw a conjecture about chaos-generating network structures. This conjecture is successfully applied in the determination of the strange dynamics occurring in the peroxidase-oxidase reaction system (chapter seven). Graph theory to analyze the network topology is used throughout the investigation.
In dieser Abhandlung wird ein vielfältiges Arsenal an mathematischen Hilfsmitteln aufgewendet, um die Dynamik verschiedenartiger chemischer Reaktionssysteme zu untersuchen. Sie gliedert sich in zwei Teile, wobei jeder Teil aus einem Theorieteil und einer Anwendung an einem realistischen Beispielmodell besteht. Der erste Teil (Kapitel zwei, drei und vier) verdeutlicht die Anwendbarkeit und den Nutzen algebraischer Geometrie bei der Lösung chemischer Reaktionssysteme, die im allgemeinen durch stark nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. Es wird eine Möglichkeit gezeigt, die Menge der stationären Lösungen auf eine Kurve zu beschränken, indem man einen konvexen Kegel mit einer torischen Varietät schneidet. Diese Einschränkung ist wesentlich zur Definition einer eineindeutigen Abbildung zwischen der Menge stationärer Konzentrationen und der Menge stationärer Reaktionsraten. Dies wird anhand der analytischen Lösung mehrere Modelle zur elektrokatalytischen Ameisensäureoxidation (Kapitel vier) vorgeführt. Aufgrund einer exakten Stabilitätsanalyse können die auftretenden Verzweigungen und die zugehörigen Parameterbereiche bestimmt werden. Dadurch wird es möglich, allgemeine Aussage über die Bedingungen zu machen, unter denen ein elektrochemisches System bistabil ist. Der zweiten Teil (Kapitel fünf, sechs und sieben) beleuchtet die Zusammenhänge zwischen speziellen Netzwerkstrukturen und fundamentalen Systemeigenschaften. Fokus des Interesse ist der Einfluss von Rückkopplungsschleifen auf das Verzweigungsverhalten. Neben einer Klassifikation instabiler Netzwerke hinsichtlich der Art der Instabilität erfolgt eine Beschreibung von möglichen Erweiterungen solcher Netzwerke zu bistabilen, oszillatorischen und chaotischen Systemen. Zur Bestimmung des Verzweigungsverhaltens werden die algebraischen Betrachtungen durch numerische Untersuchungen und Simulationen ergänzt. Dies ermöglicht schließlich auch eine Vermutung über Chaos erzeugende Netzwerkstrukturen. Diese werden in einem gängigen Modell zur Peroxidase-Oxidase-Reaktion identifiziert, und die Art der chaotischen Attraktoren im Hinblick auf etwaige Shil'nikov Orbits wird näher bestimmt (Kapitel sieben). Zur Unterstützung der Netzwerkanalysen wird an verschiedenen Stellen Graphentheorie verwendet.