Zusammenfassung
The development and implementation of advantageous time-stepping schemes in
existing ocean models bears the potential to improve the model performance in terms
of higher numerical accuracy as well lower numerical costs in terms of increased
stability (larger possible time-steps). Stability and accuracy of time-stepping schemes
should be considered in coupled space-time discretization. In that respect, the
derivation and analysis of a new space-time discretization especially within the novel
spatial framework of ICON-O (ocean component of the ICON earth system model)
is of significant interest.
In this thesis, adapting and implementing a split-explicit time-stepping scheme into
ICON-O, we address both accuracy and stability: (a) We reduce the propagation
error of barotropic signals by up to two orders of magnitude within mainly barotropic
experiments. Furthermore, choosing a more advanced baroclinic time-stepping
scheme results in increased accuracy of the baroclinic signal for relevant large Courant
numbers. (b) The new space-time discretization shows increased numerical stability
by a factor of up to 1.3 for the analysed experiments.
In addition to the new split-explicit space-time discretization based on a Leap-Frog
Adams-Moulthon-3 (LF-AM3) baroclinic step, we also adapt split-explicit time-
stepping for the Adams-Bashfort-2 (AB2) scheme which is originally used in ICON-O
together with a semi-implicit scheme. A major effort was to bring together these time-
stepping schemes with the unique spatial framework of ICON-O, which is based on a
C-type staggering of variables on a triangular grid. Following this spatial framework,
we preserve a mass-matrix that filters out a spurious mode and furthermore fullfill
discrete conservation of volume and tracers.
In experiments with increasing complexity, we compare the two new split-explicit
space-time discretizations with the original AB2 semi-implicit scheme. We show higher
accuracy of the barotropic mode of the split-explicit schemes within various gravity
wave experiments. In a lock-exchange experiment, we find for small Courant numbers
that a coupling-error of both split-explicit time-stepping schemes results in smaller
accuracy in velocity compared to the AB2 semi-implicit scheme. This coupling-error
can be avoided with further improvements to the split-explicit algorithm. For desired
large Courant numbers, the new LF-AM3 split-explicit space-time discretization is
more accurate in the velocity, even for a time step that exceeds the stability limit
of both AB2 schemes. Furthermore, the new LF-AM3 space-time discretization
is more accurate for tracers independent of the Courant number. LF-AM3 shows
slightly larger spurious mixing which we also find for smaller time steps with both
AB2 schemes. We argue that this is caused by larger noise of the velocity on grid scale due to smaller numerical velocity diffusion. This results in gain of control
over the total velocity diffusion when using ICON-O. Within the coupled space-time
discretizations of ICON-O, the new LF-AM3 split-explicit discretization shows a
stability limit that is 1.3 times larger compared to the AB2 semi-implicit and up to
1.5 times larger stability limit compared to the new AB2 split-explicit discretization
for our experiments.
Die Entwicklung und Implementierung von vorteilhaften Zeitschrittverfahren für
vorhandene Ozeanmodelle birgt das Potenzial, deren Ergebnis hinsichtlich höherer
numerischer Genauigkeit und geringerer numerischer Kosten bezogen auf erhöhte Stabilität (größere mögliche Zeitschritte) zu verbessern. Stabilität und Genauigkeit von
Zeitschrittverfahren sollten im Kontext einer gekoppelten Raum-Zeit-Diskretisierung
betrachtet werden. Diesbezüglich ist die Herleitung und Analyse eines neuen
Zeitschrittverfahrens innerhalb der innovativen räumlichen Diskretisierung von
ICON-O (Ozeankomponente des Erdsystemmodells ICON) von bedeutendem Interesse.
In dieser Dissertation passen wir ein split-explizites Zeitschrittverfahren auf ICON-O
an und implementieren dieses. Damit gehen wir die beiden Punkte Genauigkeit und
Stabilität an: (a) Innerhalb überwiegend barotroper Experimente verringern wir den
Fehler, der durch die Ausbreitung eines barotropen Signals entsteht, um bis zu zwei
Gr¨oßenordnungen. Zus¨atzlich w¨ahlen wir ein fortschrittliches Zeitschrittverfahren
für den baroklinen Zeitschritt und verbessern damit das barokline Signal für die für
uns relevanten, hohen Courant-Zahlen. (b) Die neue Raum-Zeit-Diskretisierung zeigt
eine 1.3-fach erhöhte numerische Stabilität für die ausgewerteten Experimente.
Zusätzlich zu dem neuem split-expliziten Zeitschrittverfahren, welches auf einem
Leap-Frog Adams-Moulthon-3 (LF-AM3) baroklinem Zeitschritt basiert, entwickeln
wir das split-explizite Zeitschrittverfahren für das in ICON-O ursprünglich mit einem
semi-impliziten Zeitschritt verwendete Adams-Bashfort-2 (AB2) Verfahren. Eine
der großen Leistungen dieser Arbeit war das Entwickeln dieser Zeitschrittverfahren
innerhalb der besonderen r¨aumlichen Diskretisierung von ICON-O. Dieser folgend,
erhalten wir die Massen-Matrix, welche eine numerische Mode aufhebt, und erfüllen
diskrete Volumen- und Tracererhaltung.
In Experimenten mit ansteigender Komplexität vergleichen wir die zwei neuen split-expliziten Raum-Zeit Diskretisierungen mit dem ursprünglichen semi-impliziten AB2
Verfahren. Wir zeigen die höhere Genauigkeit der barotropen Mode beider neuer split-expliziten Verfahren anhand mehrerer Experimente von Schwerewellen. In einem
Lock-exchange Experiment zeigt sich, dass für kleine Courant-Zahlen beide split-
expliziten Verfahren aufgrund eines Kopplungsfehlers geringere Genauigkeit in der
Geschwindigkeit haben als das semi-implizite AB2 Verfahren. Dieser Kopplungsfehler
kann durch weiterführende Verbesserungen des split-expliziten Verfahrens vermieden
werden. Für die üblichen großen Courant-Zahlen ist die split-explizite LF-AM3
Raum-Zeit-Diskretisierung in der Geschwindigkeit genauer, sogar außerhalb des
Stabilitätslimits beider AB2 Verfahren. Zusätzlich ist LF-AM3 für Tracer, unabhängig
der Courant-Zahl, genauer. LF-AM3 zeigt ein etwas höheres numerisches Vermischen
von Tracern, auch beobachtbar bei der Verwendung kleinerer Zeitschritte in den
AB2 Verfahren. Wir begründen dies mit erhöhtem Rauschen in der Geschwindigkeit
auf Gitterskala, bedingt durch eine geringere numerische Geschwindigkeitsdiffusion.
Daraus ergibt sich für den Nutzer von ICON-O wiederum eine erhöhte Kontrolle über
die gesamte Diffusion der Geschwindigkeit. Innerhalb der Raum-Zeit-Diskretisierung
von ICON-O zeigt die neue split-explizite LF-AM3 Diskretisierung ein 1.3-fach höheres
Stabilitätslimit als das semi-implizite AB2 Verfahren und bis zu 1.5-fache erhöhte
Stabilität als die neue split-explizite AB2 Diskretisierung in den durchgeführten
Experimenten.
