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Abstract:
Zusammenfassung
In dieser Arbeit werden hydrodynamische Instabilit¨aten in neuen k¨unstlichen Materialien, Ferrofluide
und Ferronematen, theoretisch untersucht. Ferrofluide sind kolloidale Suspensionen
magnetischer Nanoteilchen in einer gew¨ohnlichen F¨ussigkeit, wie Wasser oder Benzol. Benutzt
man einen nematischen Fl¨ussigkristall als Tr¨agerfl¨ussigkeit, so erh¨alt man Ferronematen. Ferro-
fluide sind in vielerlei Hinsicht sehr spezielle Fl¨ussigkeiten. Sie sind superparamagnetisch, d.h.
obwohl im Gleichgewicht die magnetischen Momente der Nanoteilchen ungeordnet sind, gen¨ugt
schon ein schwaches Magnetfeld, um diese Momente auszurichten und eine große induzierte
S¨attigungsmagnetisierung zu erhalten. Diese Eigenschaft wird vor allem bei technischen und
medizinischen Anwendungen benutzt. Ferner ist die Mobilit¨at der Nanopartikel sehr gering
verglichen mit der der Fl¨ussigkeitsmolek¨ule, was zu einer extrem langsamen Di usionsdynamik
f¨uhrt. Sehr groß sind dagegen die Dichteunterschiede zwischen Kolloid und Fl¨ussigkeit. Diese
beiden Eigenschaften, die sich in einer Beschreibung als bin¨are Mischung durch eine kleine
Lewis-Zahl und einen grossen Thermodi usions- oder Soretkoe zienten bemerkbar machen,
sind wesentlich f¨ur das spezielle Verhalten bei thermischen Konvektionsinstabilit¨aten, welches
in Kapitel 2 (ohne) und in Kapitel 3 (mit Magnetfeld) diskutiert wird. Ferronematen zeichnen
sich, verglichen mit gew¨ohnlichen Nematen, durch eine große Suszeptibilit¨at gegen¨uber
Magnetfeldern aus, was es erlaubt, auch ¨ublicherweise vernachl¨assigte Magnetfelde ekte in der
Nematodynamik zu betrachten. Die Auswirkung solcher E ekte auf hydrodynamische Instabilit
¨aten wird im 4. Kapitel behandelt.
Ferrofluide werden wegen der geringen Di usivit¨at der Magnetpartikel oft als Einkomponentenfl
¨ussigkeiten beschrieben. Wir zeigen in Kapitel 2, dass dies f¨ur die Beschreibung thermischer
Konvektion nicht ausreicht. Beschreibt man das System als bin¨are Mischung mit der Konzentration
der Nanoteilchen als zweiter Spezies, so machen sich die besonderen Eigenschaften der
Ferrofluide bemerkbar. Insbesondere hat man nicht die Stabilit¨at eines Zustands mit voll entwickeltem
linearen Konzentrationsprofil zu betrachten, sondern es ist von einem sich gerade
erst entwickelnden Profil auszugehen, das abgesehen von einer sehr d¨unnen Randschicht fast
¨uberall konstant ist. F¨ur den hier betrachteten Fall, bei dem der angelegte Temperaturgradient
und die Thermodi usion in dieselbe Richtung zeigen, f¨uhrt der große Soret-Koe zient zu
einer drastischen Verringerung der Instabilit¨atsschwelle. Dies ist aber nicht beobachtbar, da
hier die Dynamik der sich entwickelnden Konvektionsstruktur extrem langsam ist. Betrachtet
man das System in der N¨ahe der viel h¨oheren Einkomponentenfl¨ussigkeitsschwelle (welche man
ohne Soret-Koe zienten h¨atte) so ist das System dort instabil. Es ist dann sinnvoll, die linearen
Anwachsraten der Instabilit¨at (und nicht die Schwelle selbst) zu betrachten. In diesem
Bereich sind die Zeitskalen wieder kurz genug und experimentell zug¨anglich. Als n¨achstes wird
das nichtlineare Verhalten mittels eines normalen Galerkinverfahrens untersucht. Dabei zeigt
sich, dass die Amplitude einer St¨orung des Grundzustands in Form von station¨aren Konvek-
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tionsrollen s¨attigt. Dies ist im Widerspruch zu einer k¨urzlich aufgestellten Hypothese einer
konvektiven Oszillation auf Grund der stark verschiedenen Zeitskalen von W¨armeleitung und
Di usion, stimmt aber mit Messungen von S. Odenbach ¨uberein, der unser Bild dieser speziellen
bin¨aren Mischungs-Instabilit¨at in Ferrofluiden best¨atigt.
Im folgenden Kapitel wird die thermische Konvektion von Ferrofluiden im externen Magnetfeld
beschrieben. Daf¨ur wird zuerst das volle System der hydrodynamischen Gleichungen f¨ur
magnetische bin¨are Mischungen ausgehend von fundamentalen thermodynamischen Prinzipien
hergeleitet. Wir zeigen, dass die Beschreibung als bin¨are Mischung beschr¨ankt ist, da f¨ur
sehr hohe Magnetfelder das System thermodynamisch instabil wird. M¨oglicherweise h¨angt
dies mit Teilchenagglomeration und Kettenbildung zusammen, wobei aber solche Aussagen
eigentlich vom makroskopischen Standpunkt aus nicht zu machen sind. F¨ur erlaubte Magnetfelder
bestimmen wir die S¨attigungsamplitude der thermischen Konvektion. Auf Grund der
magnetischen Randbedingung spielt nun die Grenzschicht eine wichtige Rolle (im Gegensatz
zum feldfreien Fall) und muss explizit betrachtet werden. Das Grenzschichtproblem wird
analytisch behandelt unter zu Hilfenahme der numerischen L¨osung. Die numerische Untersuchung
der nichtlinearen Zeitentwicklung der konvektiven Str¨omung zeigt, dass wie im feldfreien
Fall die Amplitude im Zustand eines station¨aren Rollenmusters s¨attigt. Mit Hilfe der
analytischen Grenzschichtl¨osung l¨asst sich analytisch eine gen¨aherte implizite Formel f¨ur die
S¨attigungsamplitude herleiten, die die Abh¨angigkeit von den Systemparametern angibt.
Im abschließenden Kapitel betrachten wir Instabilit¨aten in Ferronematen. Wie k¨urzlich
gezeigt wurde, gibt es in Ferronematen Zus¨atze zu den hydrodynamischen Materialtensoren,
die linear im externen Feld sind. Im Prinzip existieren solche E ekte auch in gew¨ohnlichen Nematen,
aber in Ferronematen kann man erwarten, dass die ph¨anomenologischen Transportkoe
zienten, die diese E ekte bestimmen, viel gr¨oßer sind. Es ist ziemlich schwierig, diese neuen
E ekte direkt zu messen, da sie sehr kompliziert sind. Deshalb ist es experimentell evtl. einfacher,
solche Materialparameter indirekt mittels Instabilit¨aten zu bestimmen, wo sie f¨ur neue
Aspekte des Instabilit¨atsverhaltens verantwortlich sind, insbesondere wenn es sich um qualitativ
neuartige Ph¨anomene handelt. Wir untersuchen theoretisch den Einfluss solcher neuer
Terme auf die thermische Konvektions- (Rayleigh-B´enard) und die Fingerinstabilit¨at (Sa man-
Taylor) in Ferronematen im starken externen Magnetfeld. Wir finden, dass diese Instabilit¨aten
ihren Charakter qualitativ ver¨andern, da eine endliche Vortizit¨atsstr¨omungskomponente parallel
zum Feld auftritt – ein Ph¨anomen, das in gew¨ohnlichen Fl¨ussigkeiten bekannt ist f¨ur den
Fall einer aufgepr¨agten Rotation (statt des Feldes). Die daraus resultierenden Zusatze ekte
(Str¨omung entlang der Konvektionsrollen, Schr¨agrollen, Rotation der Instabilit¨atsfinger) kann
f¨ur die Messung der besagten ph¨anomenologischen Transportparameter genutzt werden. Da
diese E ekte linear im ¨außeren Feld sind und sich damit umkehren, wenn das Feld umgekehrt
wird, sind sie deutlich von allen Felde ekten zu unterscheiden, die auf intrinsischen Magnetfeldabh
¨angigkeiten konventioneller Materialparameter beruhen, da letztere quadratisch im Feld
und damit invariant bei Feldumkehr sind.
