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Abstract:
In der vorliegenden Arbeit wird ein neues numerisches Verfahren entwickelt und getestet,
das sogenannte semi-Lagrangsche Zelhntegrationsverfahren (SLZI). Die Idee besteht darin,
ein lokales Schema zu entwickeln, welches globale Integralinvarianten, wie z.B. die
Gesamtmasse der Atmosphäre, erhält und ansonsten die bekannten positiven Eigenschaften
semi-Lagrangscher Methoden zeigt. Die Entwicklung verläuft sukzessive von eindimensio-
nalen Untersuchungen, über Tests in ebenen kartesischen Koordinaten bis hin zu den spe-
ziellen Bedingungen auf der Kugeloberfläche. In jedem Entwicklungsschritt wird am Ende
ein Standardtest durchgeftihrt und die Ergebnisse mit der analytischen Lösung und mit
einem traditionellen Verfahren verglichen. Neben den Experimenten mit analytisch lösba-
ren Testsituationen wird auch ein Experiment mit realen Daten durchgeführt. Die Erweite-
rung der Methode auf drei Dimensionen wird ebenso diskutiert wie die Kombination des
SlZl-Verfahrens mit dem semi-impliziten Zeitschrittverfahren. Neben der Anwendung als
Transportschema werden noch einige Überlegungen zur Ausdehnung der Methode auf den
kompletten Satz der primitiven Gleichungen angestellt.
Bei den Untersuchungen in einer Dimension liegt der Schwerpunkt zunächst in der konkre-
ten Formulierung der neuen Methode. Dabei stellt sich heraus, daß man prinzipiell zwei
Schritte unterscheiden kann. Zuerst wird in jeder Gitterzelle ein Polynom berechnet, wel-
ches die Verteilung einer Variablen in dieser Zelle reprâsentiert und anschließend wird eine
konservative Abbildung, bestehend aus Integralen über diese Polynome, zwischen dem Git-
ter ntm alten und zum neuen Zeitpunkt durchgeführt. In dieser Arbeit werden als Polynome
konstante, lineare und quadratische Funktionen verwendet und als Test wird zunächst der
Transport eines Rechteck- bnv. Dreiecksignals analysiert. Es hat sich gezeig¡, daß die
numerische Genauigkeit der Methode um so größer ist, je höher der Grad der verwendeten
Polynome ist. Schränkt man die Polynome weiter ein, indem man etwa Positivitat oder gar
Monotonie fordert, geht dies geringfrigig zu Lasten der Genauigkeit.
Die Entwicklung des a¡reidimensionalen SlZl-Verfahrens in ebenen kartesischen Koordi-
naten hat den Fokus die konservative Abbildung derart zu gestalten, daß sie die Eigenschaf-
ten des eindimensionalen Verfahrens bestätigt und dabei möglichst effizient ist. Dabei hat
sich gezeigt, daß eine sukzessive Anwendung von eindimensionalen Integrationen in Rich-
tung der zwei Koordinatenachsen die Forderungen erfüllen kann. Als Testobjekt dient die
gleichftirmige Rotation eines Zylinderc um den Mittelpunkt des Integrationsgebietes. Die
Lösung ist dabei unabhängig von der V/ahl der Koordinatenrichtung in welche zuerst inte-
griert wird. V/ie bei den eindimensionalen Tests hat sich bestätigt, daß die Verwendunglinearer Funktionen zu ähnlichen Eigenschaften flihrt wie die klassische semi-Lagrangsche
bikubische Interpolation.
Auf der Kugeloberfläche wird der Standardtest, die Advekfion einer kosinusftirmigen Glok-
kenfunktion direkt über den Pol, entlang des Aquators und in kleinen Abweichungen von
diesen Extremen, untersucht. Insbesondere die Advektion direkt über den Pol zeigt, daß hier
mit neuen Problemen zu rechnen ist. Die starke Krümmung und Drängung der Koordinaten-
linien erfordert eine Modifikation des bisher entwickelten Schemas. Die Änderung beinhal-
tet im Wesentlichen die Berechnung von zusätzlichen Punkten, um die Fläche der
Gitterzellen in Polnähe zum alten Zeitpurktkorrekt wiederzugeben. Die Verwendung eines
Polfilters ftihrt dann schließlich auch zu quantitativ zufriedenstellenden Resultaten. Gerade
die besondere Behandlung der Gitterpunkte in der Nähe der Pole bietet aber auch Ansatz-
punkte für weitere Verbesserungen. Experimente mit verschiedenen Auflösungen ergaben,
daß mit höherer Gitterauflösung die SLZI-Methode, wie zu erwarten, eine genauere Lösung
liefert. Die wichtige Frage nach der Effizienz des Verfahrens wird an dieser Stelle auch
beantwortet. Dabei kam heraus, daß die Verwendung linearer Funktionen im SLZI-Schema
zrrar geringfügig aufwendiger ist als bikubische semi-Lagrangsche Interpolation, aber den
zusätzlichen Vorteil der Massenerhaltung bietet. V/ill man höhere Genauigkeit erzielen, so
kann dies durch quadratische Funktionen erreicht werden, wodurch die Methode etwa um
den Faktor 1,6 mehr Rechenzeit benötigt.
Um das Verfahren mit realen Daten zu testen, mußte eine Situation gefunden werden, die
über einen längeren Zeitraum annähernd nveidimensionale Strömungsverhältnisse bietet.
Die Advektion potentieller Vorticity im Zeitram 16-28 Januar 1992 auf der 450 K Isentro-
penfläche konnte diese Anforderungen erfüllen. Neben der Bestätigung der bis dahin
gewonnenen Ergebnisse wird deutlich, daß die genauere SLZI-Methode mit quadratischen
Funktionen viel besser kleinskalige Strukturen simuliert als die bikubische semi-Lagrange
Interpolation.
Abstract:
In the present study, a new numerical method is developed and tested, the so-called cell-
integrated semi-Lagrangian scheme (CISL). The basic idea is to develop a local scheme
which shows the well-known solid properties of semi-Lagrangian schemes and additionally
conserves some global integral invariants. The development proceeds continuously from
simple one-dimensional investigation and tests in the cartesian plane up to the special con-
ditions on the sphere. At the end of every step a standard test is carried out and the results
are compared with the analytical solution and a traditional method. Besides the experiments
with analytical test cases an integration with realistic data is performed. The extension to a
three-dimensional scheme is discussed as well as the combination of the CISL method with
the semi-implicit time stepping. Additional to the design as a transport scheme some ideas
to apply the method to the full set of primitive equations are presented.
The one-dimensional investigations concentrate above all on the practical formulation of
the scheme. It turned out that in principle the new method could be divided in two steps. At
first a polynomial which describes the spatial distribution of the variable is computed in
every grid cell and subsequently a conservative remapping between the grid at previous
time level and the grid at next time level is carried out using integrals over these polynomi-
als. In the present paper constant, linear and parabolic functions are used and the first test
case is the transport of a rectangular and a triangular wave. The experiments show that with
higher degree of the polynomials a more accurate solution is achieved. Implying additional
conditions on the functions like positivity o. monotonicity the accuracy is slightly smaller.
The focus of the tests in two-dimensional cartesian coordinates is to develop an efficient
conservative remapping which maintains the properties from the one-dimensional experi-
ments. It turned out that a cascade of one-dimensional integrations parallel to the coordinate
lines might fit these requirements. The test case here is the solid body rotation of a cylinder
and it ends up that the solution is independent of the sequence of integrations. Similar to the
one-dimensional results the use of linear functions within the CISL scheme is comparable
to the traditional semi-Lagrangian bicubic interpolation.
On the sphere the standard test, the advection of a cosine bell directly over the poles, around
the equator and minor shifts from these two orientations, is performed. Especially the
advection over the poles shows new problems under the conditions of spherical geometry.
The strong curvature and the crowded coordinate lines near the poles require a modification
of the scheme developed until now. The main changes are the calculation of additional
points in order to reflect the area of the grid cell at previous time level more conect. Finally,
the application of a pole filter leeds to quantitatively sufficient results. But the specific treat-ment of near pole grid points shows some promise for further improvements. Experiments
with different grid resolutions result in more accurate solutions with CISL as the resolution
increases. The important question of efficiency has been regarded now. CISL scheme with
linear functions is slightly more expensive than semi-Lagrangian bicubic interpolation, but
besides the same numerical properties the new method offers the additional advantage of
the exact conservation of total mass. Higher accuracy can achieved using parabolic func-
tions which need a factor of 1,6 more computer time.
In order to test the method with realistic data a situation with an almost two-dimensional
flow over a longer period has to be found. This is the case for the advection of potential vor-
ticity during the period 16-28 january 1992 on the 450 K isentropic surface. Besides the
confirmation of previous results the more accurate CISL scheme with parabolic functions
simulates the small scale structures slightly better than the semi-Lagrangian bicubic inter-
polation.
